ＶＳ ９０度

マミー VS メカマミー　の他には
パンダ VS タレパンダ
ディーボ VS イルディーボ　・・・

　で、話題は対戦カードではなくて”ＶＳ”の”Ｖ”と”Ｓ”が９０度回転したデザインになっているところ。

　ヒントはバスの中のある一人のお客さんの持ってたバッグの柄。○が周期的にならんでいてところどころその中にＶやＳが描いてあった。

　記事を投稿してから気付いたが、逆の９０度の方が素直だったかも。

万華鏡の底の三角形の拡張

まさかのパズル: 問題：万華鏡の底の３角形から・・・で書いた問題は

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０　
（３６０／Ａ）が整数
（３６０／Ｂ）が整数
（３６０／Ｃ）が整数

そんなＡ、Ｂ、Ｃを全検してみようという話。
上記問題は　2/a+2/b+2/c=1 (a,b,cは整数）とは同値。

プログラムを作ってみた。出力結果は

 　a  b  c   A          B         C
�@ 3  7 42   120.000000 51.428571  8.571429
�A 3  8 24   120.000000 45.000000 15.000000
�B 3  9 18   120.000000 40.000000 20.000000
�C 3 10 15   120.000000 36.000000 24.000000
�D 3 12 12   120.000000 30.000000 30.000000　正三角形の３分の１
�E 4  5 20    90.000000 72.000000 18.000000　�Hの半分
�F 4  6 12    90.000000 60.000000 30.000000　正三角形の半分（定規の１つ）
�G 4  8  8    90.000000 45.000000 45.000000　直角ニ等辺三角形（定規の１つ）
�H 5  5 10    72.000000 72.000000 36.000000　正十角形の１０分の１
�I 6  6  6    60.000000 60.000000 60.000000　正三角形

全部で１０種類ある。
�F�G�Iは全部偶数で 180/A 180/B 180/C が整数。

�@はＢ，Ｃが整数でない！！

�@の三角形をそれぞれ３枚、７枚、４２枚あわせた図↓。

正方形変形の対称でない拡張

　正方形を変形して、縦長と横長を市松模様においていく。

　対称性が高い場合は、正方形から紗綾形。

　対称性がない場合の拡張の方法が２パタン。

・上側は赤と黄色は裏返しの関係。赤の置き方は１種類、黄色の置き方は１種類。
・下側は赤も黄色も裏返しなし。赤の置き方が２種類、黄色の置き方は２種類。

似てるけどねぇ〜。
どこかが「漫画ガロのロゴ」っぽい。

正方形から紗綾形

パズルの問題は増すのかい？: 紗綾形綸子の記事を見た。
そこで、正方形からの変形という観点で紗綾形を追ってみる。
赤は縦長、黄色は横長。
まずは、正方形の市松模様。この色だと、プラパズルを思い出す。




上下に延ばし、左右にその分だけ、凹ましていく。
最初は、ジグゾーパズル風。





次が、キカイダーのキみたいな感じ。






そしてΨ（プサイ）のようなカタチ。






もう少し伸ばすと領域が分断。



でも、並べてみると、工の字型に対応していることがわかる。
どこか、ミミガーっぽい。






もう１つ延ばして、紗綾形と。

７オミノ卍固め その後

７オミノ卍固めのうちtioakさんが見つけた最後のパーツで数を減らすのに挑戦してみた。いまのところＪＵＮＫさんの記録（掲示板の３３４）とはタイ記録８０パーツ。

　さらに減らすためには、
�@まわりの黄色い部分を減らす。
�A中心の部分（図では緑）のパタンを変える。
�B全然、違うシクミを考える。

卍固めを組むのは、どことなく「ぷよぷよ」の長連鎖をオフラインで考えて組むのに似てて楽しい。

卍固め８オミノ 新パタン

同一オミノを置いていって、絡み合わせて、平面的には抜けなくしようというネタ。

□□□□　８オミノ×２個
□■■□
　■□□■
　■■■■

　この８オミノ×２個は成立している。それ以外は１０（以上）オミノでなければ
成立しないと思われたが、卍固めによって９オミノ、８オミノ、７オミノで成立しているパタンが見つかった。卍固めは正式な定義は難しいところもあるが４回の回転対称を基本的な構造に持つ。今のところ、上に示した２個成立のものを抜かすと７オミノ、８オミノ、９オミノで成立しているものは卍固めになっている。
　また、卍固めは１０（以上）オミノでも使える。ＪＵＮＫさんを中心としたパズ懇掲示板が詳しい。

７オミノでは
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　■
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そして、小松さんがみつけた
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８オミノでは
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　■　■
　■
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で今回、新たにこれを見つけた。
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　■
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７オミノは上記の２種類で打ち止めのような感じもするが、８オミノはまだまだありそう。

追加20061203begin{

小松さんはさらにこれをみつけた。
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■
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今までの９、８、７オミノとは若干性質が違う。

今までのものは、同じ向きに置いていって引っ張る力をナナメ下に伝えられた。

□□□
　□
　□■■■
　□□■
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　　　■■□
　　　　　□■■■
　　　　　□□■
　　　　　　　■□□□
　　　　　　　■■□
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今回の７オミノはそうはなっていない。代わりには

□□
　□□
■■□
■□□
■■△△
　■■△△
　　▲▲△
　　▲△△
　　▲▲
　　　▲▲

}追加20061203end

万華鏡 山見浩司となかまたち展

　妹からハガキが送られてきた。これに生徒として作品を出展しているとのこと。自分は行ってみる予定。

万華鏡　山見浩司となかまたち展
２００６　１１．２１〜１１．２６　アートスペースリビーナ

　拙作ジコゾウＭ１号でブログ記事を拾ってみた。

万華鏡日和 : あと三日！
大切日記 : 山見さんとなかまたち展があります。
Miyuki's Diary : 山見浩司となかまたち展

７オミノ卍固めをマンドラチューブで

　７オミノ卍固めを見てたら、マンドラチューブで表現できることに気がついた。

　Ｌ字パーツが３オミノ分、Ｔ字パーツが４オミノ分。Ｔ＋Ｌ＝丁。



　全体に敷き詰めてみた。



　実際にスライドすると３〜４個歪んで抜ける。本当に��抜けない�≠�実現するためには、精度が必要ではある。でも精度だけ頑張ってもムリなような気もする。

７オミノ卍固めは２７個でＯＫ！

まさかのパズル: ７オミノ・ヘプトミノで卍固めとまさかのパズル: 同一８オミノ４０で抜けない（卍固め）に関しての考察を植松峰幸さんからもらった。了承を得てここに掲載。

まず、７オミノ版について。

原文抜粋

岩井さんの7omino28を拝見しました。再三の新発見、その図の美しさに圧倒されています。

さて、それについて一つ質問なのですが、この図から中央付近のピンク色のピースを１個抜いたとき、どこかの塊が抜けてしまうようになるでしょうか？　しばらく考えてみたのですが、私には抜けどころが見つけられませんでした。他の位置の１ピースを抜いた場合の抜けどころは、割合たやすく見つかったのですが。

植松さんによる図 7omino28-1


　確かにそうだ。この７オミノ版は密度が高いのでホールドすることに関して余力があるということか。１個抜いた２７個でもだいじょうぶ。
　さらには、組み方をかえての２６個以下でＯＫの可能性もまだある。

／／／／／／／／／／／／

続いて９オミノ版について

原文抜粋

添付図をご検討ください。
ピンク色にしたピースが回転可能で、その後、緑色にした塊が動くと、その隙間からピンク色のピースが抜けて、さらにその後はすべてのピースがバラバラにできます。

植松さんによる図 9omino36


　すごい抜け方があったものだ。縦横に押したり、引いたりしても抜けないのは確認したが、これは気付かなかった。確かに見た感じで、ユルユルではあった。

７オミノ・ヘプトミノで卍固め

参考：同一８オミノ×４０個で抜けない（卍固め）
９オミノでできて、８オミノでできて、７オミノはどうだ？と考えていたらできた。

７オミノで抜けないのは抜けないＮオミノ中のＮの最小記録。

そもそも新発見（の可能性大）。

盤面から受ける印象は８オミノや９オミノ版よりは異様さは少ない。

抜けなくすることができる８オミノや９オミノのパーツ形にもバリエーションがあると予想できる。


↓同一７オミノで絡みあって抜けない盤面


追加20061106
好きな１〜７オミノいくつか使って絡み合って抜けない盤面を作ってみてと言われても、そんなに簡単に答えが見つからない。

ひとつのパタンは１オミノ＋穴空き７オミノ
□□
□■□
□□□

他は・・・この記事のパタンがあてはまる。

同一８オミノ×４０個で抜けない（卍固め）

　同一８オミノ（オクトミノ）を使って、絡み合って縦横にスライドしても抜けないようにしてみてと言われれば
□□□□
□■■□
　■□□■
　■■■■
で２個が絡みあうのはできる。


同一８オミノで他の絡み合わせ方はないの？
同一８オミノで３個以上を絡みあわせてみて？　という問題の解答が以下。

使うパーツは
□□□
□　□
　　□
　　□□。
４個卍型に組み合わせると絡み合ってはいるが、抜けてしまう。おしい。

　どの１つのパーツ、どの方向をとっても「そのパーツをその方向に押したときに押す力が全てのパーツに伝播する」ようにすればよい。ごにょごにょと考える。

　図の下左では、同一８オミノ裏返しあり４０個隙間ありで全体が抜けなくなっている。１個抜くとバラバラになってしまう。今のところ８オミノでは、この記事の最初に提示した２個版を除くと構成する数の最低記録が４０個！

　隙間につっこめば４８個までホールドするのは行ける。図の下右。何かベビースターラーメンを思い出す。


　さらなる問題としては、
・４０個より少なくできるか？
・もっと個数を増やせるか、無限個まで伸ばせるか？
（これらの答えがある可能性はだいぶあり。＜＜＜＜＜）

　上記８オミノ版よりも先に思いついた同一９オミノ３６個も掲載しておく。


追加20061101
↓のページに同じ（ような）話題で図が載ってる(JUNKさん情報）。今回は、そこの記録を更新あるいは追加したということに。
Blocking Polyominoes.

追加20061102
JUNKさんによる関連記事
http://www.onsenfan.com/bbs/index.htm?uid=pzkn&mode=res&res_no_new=250

追加20061102
この記事の８オミノ４０個や９オミノ３６個の方法を「卍固め」と名づけてみた。

黒と赤の完全グラフその２

　黒と赤の完全グラフを書いていてもう少し、平面でも黒赤８点が整理できないか考えてみた。(20061017)

　１段目が黒と赤をどうつなぎたいかを表したもの。黒と赤は４５°あるいはマイナス４５°に回すと重なる。４回対称の手裏剣２枚組というような感じでかなり整理された。

　１段目の図では対角がバッテンになって交差してしまうので１本大外を回したのが２段目。それをマジで重ね合わせたのが３段目の最終図形。


この問題自体は約１年前に検討してたもの。そのときの、濱中さんのメール（2006年1月10日付け、詳しい！！）を転載↓続きを読む

面積１違いのナナメ正方形〜ペル方程式

面積１違いのナナメ正方形



上記の左側の７×７の正方形は面積が４９
右側の５√２×５√２の正方形の面積は５０

７×７＋１＝５√２×５√２　と１違い

補助線にあるように同面積のタコガタっぽい形を２個づつふたつの正方形からとりのぞく。それぞれ小さくのこった３角形に着目する。

左側の残った小さい３角形は２√２×２√２の正方形と同じ面積
右側の残った小さい３角形は３×３の正方形と同じ面積

こちらも ２√２×２√２＋１＝３×３と１違い

この面積の関係を式で表してみると

a²-2b²=n
（注：n=1としなくても成り立つ）

A=a+2b B=a+b とおくと
A²=(a+2b)(a+2b)=a²+4ab+4b²
2B²=2(a+b)(a+b)=2a²+4ab+2b²
A²-2B²= -a²+2b² = -n

n=1として、エクセルで計算してみると

a b a²-2b²
1 0 1
1 1 -1
3 2 1
7 5 -1
17 12 1
41 29 -1
99 70 1
239 169 -1
577 408 1
1393 985 -1
3363 2378 1
8119 5741 -1
19601 13860 1
47321 33461 -1
114243 80782 1
275807 195025 -1
665857 470832 1
1607521 1136689 -1
3880899 2744210 1
9369319 6625109 -1
・・・・・・

といくらでも、１違いのナナメ正方形の組を作っていける。

／／／／／／／／／／／／／／／

で話は変わるけど、どうもどこかでみたことある式だと思っていたら、それは「ペル方程式」に関係する式だったという話。

但し、n≠1とするとペル方程式とは呼ばなくなるようだ。

／／／／／／／／／／／／／／／

aの列に着目すると
1 1 3 7 17 41 ・・・は
a(i)=2a(i-1)+a(i-2)

「Numerators of continued fraction convergents to sqrt(2)」だそうだ。
a(i)とb(i)の比が段々√２に近づいていくという話だが、どんどんデカイ正方形の組なのに面積が１しか違わないのだら納得。

bの列は
0 1 2 5 12 29 70・・・
b(i)=2b(i-1)+b(i-2) 　ペル数　

aの列もbの列も漸化式としては同じもの

／／／／／／／／／／／／／／／

関連記事：
ACM/ICPC プログラミング対策をしてみる : 趣味的にまったり

蜂の巣的壁紙

　蜂の巣的な壁紙。



　単位が正六角形のようでも、壁紙としては長方形でだいじょうぶということで。

七角形平行移動限定平面充填

七角形平行移動限定平面充填。

平行移動限定にすると奇数角形は無理かなとも最初考えましたが、辺の数が７以上の場合はアリ。三角形、五角形にはない。

まずは、パズ懇のT.I.OAKさんの考えたパタン。プラパズルにもあるような。



そしていわいの考えたパタン。ナナメ線はあるが、格子に乗ってる。

正方形×（１／５）×（１／５）

　頂点と辺の中点を左図のように結んでいくと、真中に正方形が現れる。これはパズルの世界では広く知られているとのこと。面積比でもとの正方形の１／５。１辺は１／√５。

　できた正方形に同じように、線を引いてあげる。但し、前回とは鏡像関係に。真中には小さな１／２５の正方形。（中図）

　おおもとの正方形を縦横５×５で分割したときの真中の正方形と一致する。（右図）

ライフゲームの話 ペコペコとつなぐ

　ここで言うライフゲームはコンウェイのライフゲーム。説明はライフゲームとは - Google 検索。

　自分はライフゲームのパタンを自力で数個みつけた。方法は乱数で初期配置を決めて、動かして、眺めるという野蛮な方法。自分でパタンを見つけるなんて割合、立派なことだと思う。インターネットが世に広まる前の話。

　いざ、インターネットが発達してから、メモっておいたパタンについて調べると全部が全部、既知のパタンだった。予想できたことではあったのだが、ちょっとショック。

　それでも、しぶとくここではライフゲームの記事を書いてみようということで。

　このパタンについて考えてみる。

　■■■
■　　　■
■■　■■

　１世代進めるとピコっと芽が出て。

　　■
　■■■
■　　　■
■■　■■

　そこからは大きな範囲に広がり、安定するのは１７０世代後。
　例えば、John Conway's Game of LifeでＨＴＭＬ上で試せる。

　このパタンを２列あけて向かい合わせに二つ配置すると周期２で繰り返すようになる。これは自力で発見したものの1つ。

■■　■■　　　■■　■■
■　　　■　　　■　　　■
　■■■　　　　　■■■
　　　　　　　　　　■
　　　　　　　　　　■
　■■■　　　　　■■■
■　　　■　　　■　　　■
■■　■■　⇔　■■　■■

　向かい合った３並び■■■がポイント。点滅するところのまわりの石の数に着目すると、３個で誕生、５個で死滅を繰り返す。

　３並び■■■＋安定した土台があれば、同じ路線で使えるわけ。
例えば

　  ■■■　　　　■■■　　　■■■
　■      ■　　■　　　■　■　　　■
■　■　■　■　　■　　■　　■■■
　■　　　■　　　　■　■
　　　　　　　　　　　■
１個を支えてる　９０度２個　２段ずれに２個

実は最小の繰り返しパタンの点滅灯もうまく表裏にオンオフになるように
配置すると同じパタンでつないでいける

　　　　　　 ■　　　  ■
 ■■■　⇔　■　も　on■off 
　　　　　　 ■　　　　■

　■■■
■　　　■
■　　　■
■　　　■
　■■■

などもある。

　以下はいろいろ組み合わせた形。いずれも周期２のパタン。構成する石の１つでも無くなれば、つながってるパタン全体が壊れるという意味では完全に「ひとつながり」。


追加20060424
ライフゲームのツールとしては、下記が強力！！！
激速、機能豊富、でパタンファイルは集大成。
Life32 by Johan Bontes。

３つ巴で描いたガチャピン

「口の中に一枚歯がある」というふうに見てください。
参考は、ガチャピン - Google イメージ検索なんですが、ガチャピンはだいぶ、みんなにいじられていて、本物が少なめなので、お気をつけください。

歯がもう少し大きくあるべきだ。う〜ん、そうだね。

スターウォーズのシロザコ

　３回回転対称でスターウォーズの帝国軍シロザコを描いてみた。ちょっときついかなぁ。参考はストームトルーパー - Google イメージ検索。
　
　えぢ永タさんがこのパタンで羊や犬をデザインしてる。それを真似してみたわけ。永タさんの場合は左右対称も保っていた。

ＣＧ作品「超美味麺」

　以下は今から約２０年前に作ったＣＧ画像。部屋を掃除していたらでてきたので、スキャンして投稿。背景はラーメン（またはその器や包装）っぽさをあしらったもので、「超美味麺」という文字が入っているのが読める。考えてみると、「チョ〜、ヤバイ」という表現がまだ口語としてなかった頃の話。