2006年09月11日

面積1違いのナナメ正方形〜ペル方程式

面積1違いのナナメ正方形

chigai1.jpg

上記の左側の7×7の正方形は面積が49
右側の5√2×5√2の正方形の面積は50

7×7+1=5√2×5√2 と1違い

補助線にあるように同面積のタコガタっぽい形を2個づつふたつの正方形からとりのぞく。それぞれ小さくのこった3角形に着目する。

左側の残った小さい3角形は2√2×2√2の正方形と同じ面積
右側の残った小さい3角形は3×3の正方形と同じ面積

こちらも 2√2×2√2+1=3×3と1違い

この面積の関係を式で表してみると

a2-2b2=n
(注:n=1としなくても成り立つ)

A=a+2b B=a+b とおくと
A2=(a+2b)(a+2b)=a2+4ab+4b2
2B2=2(a+b)(a+b)=2a2+4ab+2b2
A2-2B2= -a2+2b2 = -n

n=1として、エクセルで計算してみると
a b a2-2b2
1 0 1
1 1 -1
3 2 1
7 5 -1
17 12 1
41 29 -1
99 70 1
239 169 -1
577 408 1
1393 985 -1
3363 2378 1
8119 5741 -1
19601 13860 1
47321 33461 -1
114243 80782 1
275807 195025 -1
665857 470832 1
1607521 1136689 -1
3880899 2744210 1
9369319 6625109 -1
・・・・・・

といくらでも、1違いのナナメ正方形の組を作っていける。

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で話は変わるけど、どうもどこかでみたことある式だと思っていたら、それは「ペル方程式」に関係する式だったという話。

但し、n≠1とするとペル方程式とは呼ばなくなるようだ。

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aの列に着目すると
1 1 3 7 17 41 ・・・は
a(i)=2a(i-1)+a(i-2)

「Numerators of continued fraction convergents to sqrt(2)」だそうだ。
a(i)とb(i)の比が段々√2に近づいていくという話だが、どんどんデカイ正方形の組なのに面積が1しか違わないのだら納得。

bの列は
0 1 2 5 12 29 70・・・
b(i)=2b(i-1)+b(i-2)  ペル数 

aの列もbの列も漸化式としては同じもの

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posted by いわいまさか at 18:38| Comment(0) | TrackBack(1) | 絵もの | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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